বিসিএস গণিত লিখিত পরীক্ষার প্রশ্ন সমাধান পিডিএফ ডাউনলোড

বিসিএস গণিত লিখিত পরীক্ষার প্রশ্ন সমাধান পিডিএফ ডাউনলোড

মান নির্ণয়

১। (ক) x-1/x= 3 হলে X⁶ + 1/x⁶  এর মান নির্ণয় করুন। (২.৫)

সমাধান:

X⁶ + 1/x⁶

= (x²)³ + (1/x²)³

= (x² + 1/x²)³ – 3. X². 1/x²(x² + 1/x²)

={(x – 1/x)² + 2.x. 1/x}³ -3{(x – 1/x)² + 2.x. 1/x}

={(√3)² + 2}³ – 3{(√3)² + 2}

= (3+2)³ – 3(3+2)

=5³ – 3×5

=125 – 15

= 110

সমাধান

(খ) সমাধান করুনঃ 1/(a+b+x) = 1/a + 1/b + 1/x   (২.৫)

সমাধান:

দেওয়া আছে,

1/(a+b+x) = 1/a + 1/b + 1/x

Or, 1/(a+b+x) – 1/x = 1/a + 1/b

Or, (x- a- b – x) / x(a+b+x) = (a+b)/ab

Or, -(a+b)/ x(a+b+x) = (a+b)/ab

Or, -1/ x(a+b+x) = 1/ab

Or, ax + bx +x² = – ab

Or, x² + bx + ax + ab = 0

Or, x(x+b) + a(x+b) = 0

Or, (x+b)(x+a) = 0

এখন,

X+b = 0

Or, x = -b

অথবা,

X+a = 0

Or, x = -a

অতএব, x = -a, -b

উৎপাদক

২। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুনঃ

(ক) 54x⁴ + 27x³a – 16x -8a (২.৫)

সমাধান:

54x⁴ + 27x³a – 16x -8a

=27x³(2x+a) – 8(2x+a)

=(2x+a)(27x³ – 8)

=(2x+a){(3x)³ – 2³)

=(2x+a)(3x-2){(3x)² + 3x×2 +2²)

=(2x+a)(3x-2)(9×2 + 6x +4)

(খ) 12x² + 35x + 18 (২.৫)

সমাধান:

12x² +35x + 18

= 12x² + 8x + 27x + 18

=4x(3x + 2) + 9(3x + 2)

=(3x + 2)(4x + 9)

লাভ-ক্ষতি

৩। একজন দোকানী একই মূল্যে দুইটি জামা বিক্রয় করেন। একটি জামায় তিনি 10% লাভ করেন এবং অন্যটিতে 10% লোকসান দেন। তার শতকরা লাভ বা ক্ষতি কত? (৫)

সমাধান:

ধরি, উভয় জামার বিক্রয়মূল্য x টাকা

10% লাভের ক্ষেত্রে,

বিক্রয়মূল্য 110 টাকা হলে ক্রয়মূল্য 100 টাকা

বিক্রয়মূল্য 1 টাকা হলে ক্রয়মূল্য 100/110 টাকা

বিক্রয়মূল্য x টাকা হলে ক্রয়মূল্য 100x/110টাকা = 10x/11 টাকা

আবার,

10% ক্ষতির ক্ষেত্রে,

বিক্রয়মূল্য 90 টাকা হলে ক্রয়মূল্য 100 টাকা

বিক্রয়মূল্য 1 টাকা হলে ক্রয়মূল্য 100/90 টাকা

বিক্রয়মূল্য x টাকা হলে ক্রয়মূল্য 100x/90 টাকা = 10x/9 টাকা

মোট ক্রয়মূল্য = (10x/11 + 10x/9) টাকা = 200x/99 টাকা

মোট বিক্রয়মূল্য = (x + x) টাকা = 2x টাকা

এখানে, ক্রয়মূল্য > বিক্রয়মূল্য। অর্থাৎ, ক্ষতি হয়েছে।

ক্ষতি = (200x/99 – ২x) টাকা

= (200x – 198x)/99 টাকা

= 2x/99 টাকা

200x/99 টাকায় ক্ষতি হয় 2x/99 টাকা

1 টাকায় ক্ষতি হয় (2x × 99)/(99 × 200x) টাকা

100 টাকায় ক্ষতি হয় (2x × 99) ×100 / (99 × 200x) টাকা

=1 টাকা

উত্তর: ক্ষতি ১%

ত্রিকোনমিতি

৪ (ক) 7sin²θ + 3cos²θ = 4 হলে, tanθ এর মান নির্ণয় করুন। (২.৫)

সমাধান:

দেয়া আছে,

7sin²θ + 3cos²θ = 4

Or, 7sin²θ + 3(1 – sin²θ) = 4

Or, 7sin²θ + 3 – 3sin²θ = 4

Or, 4 sin²θ = 1 ———(1)

আবার,

7sin²θ + 3cos²θ = 4

Or, 7(1 – cos²θ) + 3cos²θ = 4

Or, 7 – 7cos²θ + 3cos²θ = 4

Or, – 4cos²θ = -3

Or, 4cos²θ = 3 ———(2)

এখন,

(1) ÷ (2) থেকে পাই,

4sin²θ/4cos²θ = 1/3

Or, tan²θ = 1/3

Or, tanθ = ± 1/√3

(খ) sinθ/x = coseθ/y হলে, প্রমাণ করুন যে, sinθ – coseθ = (x-y)/√(x² + y²) (২.৫)

সমাধান:

দেয়া আছে,

Sinθ/x = cosθ/y

Or, ySinθ = xcosθ

Or, y²Sin²θ = x²cos²θ ————- (1)

এখন (1) থেকে,

y²Sin²θ – x²cos²θ = 0

Or, y²Sin²θ – x² (1- Sin²θ) = 0

Or, y²Sin²θ – x² + x² Sin²θ = 0

Or, Sin²θ(x² + y²) = x²

Or, Sin²θ = x²/ (x² + y²)

Or, Sinθ = x/√(x² + y²) —————– (2)

আবার (1) থেকে,

y² (1 – cos²θ) – x²cos²θ = 0

Or, y² – y² cos²θ – x²cos²θ = 0

Or,  – cos²θ(x² + y²) = – y²

Or, cos²θ(x² + y²) = y²

Or, cos²θ= y²/(x² + y²)

Or, cosθ = y/√(x² + y²) ———— (3)

(2)-(3) থেকে পাই,

Sinθ – cosθ = x/√(x² + y²) – y/√(x² + y²)

= (x – y)/√(x² + y²)

(প্রমাণিত)

Mental Ability

৫। তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যাটি নির্ণয় করুন যার অঙ্কগুলাের যােগফল 11 এবং প্রতিটি অঙ্ক মৌলিক সংখ্যা নির্দেশ করে। আপনার উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দিন। (৫)

সমাধান:

যেহেতু, অঙ্ক ৩টির যোগফল 11 এবং প্রতিটি অঙ্কই মোলিক সংখ্যা হবে এবং সংখ্যাটি ক্ষুদ্রতম হবে, সেহেতু সংখ্যাটির শুরু হবে ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা 2 দ্বারা।

এখন, বাকি দুটি অংকের যোগফল হবে =(11-2) = 9

যোগফল 9 হবে এমন দুটি মৌলিক সংখ্যা হচ্ছে 2 ও 7

তাহলে সংখ্যাটি হবে 227 অথবা 272

কিন্তু, যে সকল সংখ্যার শেষে 2 অথবা 0 থাকে তারা 2 দ্বারা বিভাজ্য অর্থাৎ মৌলিক সংখ্যা নয়।

আবার, 227 সংখ্যাটি  2, 3, 5, 7, 11, 13, ও 17 মৌলিক সংখ্যার কোনটিই দ্বারা বিভাজ্য নয়।

অতএব,  সংখ্যাটি হবে 227যার অঙ্কগুলোর যোগফল 11 এবং প্রত্যেকেই মৌলিক সংখ্যা।

সূচক

৬। সমাধান করুন 4^x-3(2^x+2) + 2⁵ = 0 (৫)

সমাধান:

4^x-3(2^x+2) + 2⁵ = 0

Or, (2^x)² – 3(2^x.2²) + 32 = 0

Or, (2^x)²  – 3(2^x.4) + 32 = 0

Or, (2^x)²  – 12. 2^x + 32 = 0

Or, (2^x)²  – 8. 2^x – 4. 2^x + 32 = 0

Or, 2^x(2^x – 8) -4(2^x – 8) = 0

Or, (2^x – 8)((2^x – 4) = 0

এখন,

(2^x – 8) = 0

Or, 2^x = 8

Or, 2^x = 2³

Or, x = 3

অথবা,

(2^x – 4) = 0

Or, 2^x = 4

Or, 2^x = 2²

Or, x = 2

উত্তর: x = 2, 3

 লগারিদম

(খ) If a = xy^p-1, b = xy^q-1, c=xy^r-1 হলে  প্রমাণ করুন যে, a^q-r . b^r-p . c^p-q = 1. (২.৫)

L.H.S.= a^q-r . b^r-p . c^p-q

= (xy^p-1)^(q-r) . (xy^q-1)^(r-p) . (xy^r-1)^(p-q)

=x^(q-r).y^(p-1)(q-r) . x^(r-p).y^(q-1)(r-p) . x^(p-q).y^(r-1)(p-q)

=x^{(q-r)+ (r-p)+ (p-q)} . y^{(p-1)(q-r)+ (q-1)(r-p)+ (r-1)(p-q)}

=x^{(q-r+r-p+p-q)}.y^{(pq-pr-q+r+qr-r-pq+p+pr-p-qr+q)}

=x⁰y⁰

=1.1

=1 = R.H.S. (প্রমাণিত)

সুদকষা

৮। যদি চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় বছরে বার্ষিক সুদের হার যথাক্রমে r₁%, r₂% এবং r₃% হয় তবে তিন বছর শেষে P টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি কত হবে? (৫)

উত্তর:

r₁% হার সুদে ১ম বছরে সুদাসল,

= P(1+1.r₁/100)টাকা

= P(1+r₁/100)টাকা

_r2% হার সুদে 2য় বছরে সুদাসল,

=P(1+r₁/100(1 + r₂/100)টাকা

=P(100+r₁)(100+r₂)/10000 টাকা

r₃% হার সুদে ৩য় বছরে সুদাসল,

= { P(100+r₁)(100+r₂)/10000}(1+r₃100) টাকা

= P(100+r₁)(100+r₂)(1+r₃100)/1000000 টাকা

সরলরেখা

৯। (1,2) ও (-3,5) বিন্দুগামী সরল রেখা থেকে (-2,0) বিন্দুটির দূরত্ব নির্ণয় করুন। (৫)

সমাধান:

(1,2) ও (-3,5) বিন্দুগামী সরল রেখার সমীকরণ,

(x-1)/(1+3) = (y-2)/(2-5)

Or, (x-1)/4 = (y-2)/(-3)

Or, -3x  + 3 = 4y – 8

Or, -3x – 4y + 3 + 8 = 0

Or,  – 3x – 4y + 11 = 0

Or, 3x + 4y – 11 = 0

এখন,

(-2,0) বিন্দুটি থেকে 3x + 4y – 11 = 0 সরলরেখাটির দূরত্ব,

= |3.(-2) + 4.0 – 11|/√(3² + 4²)

= |-6 – 11|/√(9+16)

= |-17|/√25

=17/5

অতএব, নির্ণেয় দূরত্ব = 17/5 একক

ভেনচিত্র

১০। 200 জন পরীক্ষার্থীর মধ্যে 40 জন গণিতে, 20 জন পরিসংখ্যানে এবং 10 জন উভয় বিষয়ে ফেল করে। একজন পরীক্ষার্থী দৈবভাবে নেওয়া হলাে। তার পক্ষে –

(ক) গণিতে ফেল এবং পরিসংখ্যানে পাশ;

(খ) কেবল এক বিষয়ে পাশ;

(গ) বড়জোর এক বিষয়ে পাশ করার সম্ভাবনা কত? (৫)

উত্তর:

গণিত/ পরিসংখ্যান	পরিসংখ্যান (ফেল)	পরিসংখ্যান (পাশ)	মোট
গণিত (ফেল)	10 (দেয়া আছে)	30	40(দেয়া আছে)
গণিত (পাশ)	10	150	160
মোট	20(দেয়া আছে)	180	200(দেয়া আছে)

উপরের ছক থেকে,

(ক) গণিতে ফেল এবং পরিসংখ্যানে পাশ;

মোট ঘটনা = 200

গণিতে ফেল এবং পরিসংখ্যানে পাশ করার ঘটনা = 30

অতএব, সম্ভাব্যতা = 30/200 = 3/20

(খ) কেবল এক বিষয়ে পাশ;

মোট ঘটনা = 200

কেবল পরিসংখ্যানে পাশ = 30 জন

কেবল গণিতে পাশ = 10 জন

কেবল 1 বিষয়ে পাশ = (30+10) জন = 40 জন

অতএব, সম্ভাব্যতা = 40/200 = 1/5

(গ) বড়জোর এক বিষয়ে পাশ করার সম্ভাবনা কত:

বড়জোর 1 বিষয়ে পাশ অর্থাৎ উভয় বিষয়ে ফেল এবং 1 বিষয়ে পাশ করে

= (30+10+10) = 50 জন

অতএব, সম্ভাব্যতা = 50/200 = 1/4

বিন্যাস ও সমাবেশ

১১। (ক) MATHEMATICS শব্দটির অক্ষরগুলি দ্বারা কত ভাবে বিন্যাস করা সম্ভব? নির্ণয় করুন। (২.৫)

উত্তর:

মোট বর্ণ 11 টি। যার মধ্যে 2টি M, 2টি A ও 2টি T আছে।

অতএব, বিন্যাস সংখ্যা,

= 11!/(2!.2!2!)

= 4989600

(খ) COMBINATION শব্দটি হতে 4 অক্ষর বিশিষ্ট সম্ভাব্য সমাবেশ নির্ণয় করুন।(২.৫)

উত্তর:

COMBINATION শব্দটিতে 13 টি লেটার আছে।

এর মধ্যে O 2টা, I 2টা ও N 2টা অর্থাৎ 3জোড়া

এখন সম্ভাব্য 3টি ঘটনা ঘটতে পারে।

১ম ক্ষেত্রে,

4টি লেটারই স্বতন্ত্র,

⁸C₄ = 8!/(8-4)!.4!= 8!/4!.4! = 70

২য় ক্ষেত্রে,

2টি লেটার একই এবং বাকি 2টি স্বতন্ত্র,

3 জোড়া থেকে দুটি একই এবং বাকি 7টি থেকে 2টি স্বতন্ত্র লেটার নিয়ে,

³C₁ × ⁷C₂ = 63

৩য় ক্ষেত্রে,

2টি লেটার একই এবং অন্য দুটিও একই,

³C₂ = 3

অতএব, মোট সমাবেশ = 70+63+3 = 136

পরিমিতি

১২। ২৮ সেমি ব্যাসের একটি অর্ধবৃত্তাকার ধাতুর পাত বাঁকিয়ে কোণক আকৃতির কাপ তৈরি করা হলাে। কাপটির গভীরতা ও ধারণ ক্ষমতা নির্ণয় করুন। (৫)

সমাধান:

দেয়া আছে,

অর্ধবৃত্তের ব্যাস = ২৮ সেমি
অতএব, ব্যাসার্ধ = r = ২৮/২= ১৪ সেমি
অর্ধবৃত্তের পরিধি = πr = ১৪π

এখন, অর্ধবৃত্তাকার ধাতুর পাত বাঁকিয়ে কোণক আকৃতির কাপ তৈরি করা হলাে।

অতএব, কোণক আকৃতির কাপের কৌনিক উচ্চতা = অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১৪ সেমি

বৃত্তাকার তলের পরিধি, R = অর্ধবৃত্তের পরিধি,

অর্থাৎ,.

২πR = ১৪π
R = ৭ সেমি
কোনকের উচ্চতা, অর্থাৎ গভীরতা

h =√(১৪২ – ৭২)

= √(১৯৬-৪৯) = √১৪৭ =৭√৩

কোনকের ধারণক্ষমতা বা আয়তন,
= (১/৩) πR2h
= (১/৩) × (২২/৭) × ৭২ × ৭√৩
= ৬২২.৩৭ ঘন সেমি

ডাউনলোড করতে এখানে ক্লিক করুন 

Download From Google Drive

Download

Download From Yandex

Download

শেয়ার করুন